Minden idők egyik legeredetibb gondolkodású matematikusa tragikus sorsú hadmérnök, műveiben messze meghaladja korát. Az ő geometriája, „az új más világ „ nélkül elképzelhetetlen lenne a legmodernebb kor vívmányainak –rakéták és műholdak-működése.
1802.december 15-én született Kolozsvárott. Apja Bolyai Farkas a marosvásárhelyi református kollégium tanára és a Magyar Tudományos Akadémia levelező tagja. Korának egyik legelső, hazájának pedig addigi legnagyobb matematikusa volt. Bolyai János 12 éves korában elvégezte a gimnázium 6-ik osztályát. 15 éves korában Bécsben folytatta tanulmányait, melyet öt év után kiváló eredménnyel fejezett be.
Kiváló eredménnyel elvégzi a bécsi Hadmérnöki Akadémiát és alhadnaggyá avatják. 21 éves korában hadnagy, 22 éves korában főhadnagy, 24 évesen kapitány lett. A hadseregben elsőszámú matematikus, elsőszámú virtuóz hegedűs, és első számú vívó volt. Folyamatosan párbajozott, párbajai közül sok halállal végződött, de mindig ő volt a győztes.1833-ban saját kérelmére nyugállományba helyezték, úgy engedték el, hogy akkor tér vissza, amikor csak akar. Nyugdíjazása után apjához költözött Marosvásárhelyre, ahol egy évig lakott apjával való folytonos veszekedések közepette. Apját még párbajra is kihívta, mire apja jól megdorgálta és kitiltotta a családi házból. Ezután még egy ideig Marosvásárhelyen lakott, de apja később megengedte neki, hogy kiköltözzön domáldi birtokukra. Itt teljes magányban töltött el tíz évet, majd 1843-ban apjától bocsánatot kért, és újra hazaköltözött. Hat hétig tartott közöttük a béke, de utána újra kitörtek a veszekedések, így újra kiköltözött a domáldi birtokra. 1846-ban újra visszaköltözött Marosvásárhelyre, s ott lakott elvonultan a világtól, s tulajdonképpen elveszetten a tudomány számára.
Az abszolút geometria korszakalkotó felfedezését közlő dolgozata, az Appendix 1831-ben jelent meg latin nyelven, atyja Bolyai Farkas Tentamen című műve függelékeként. Munkáját kortársai-Gauss kivételével-nem értették meg, és nem méltányolták. Pedig a kérdés felvetése és kutatása időszerű volt. Erre vall, hogy N.I.Lobacsevszkij orosz matematikus-Bolyai Jánostól függetlenül-hasonló eredményekre jutott, és erre vonatkozó munkáját 1829/30-ban tette közzé. Bolyai János eredményei annál is inkább figyelemre méltóbbak, mert rendkívül nehéz anyagi viszonyok és kezdetleges körülmények kötött, elszigetelten, a matematika alkotómunka lehetőségeitől megfosztva élte életét. Ennek ellenére a nem euklédeszi geometriával kapcsolatos rendkívüli eredményein kívül jelentős és korszerű dolgozatokat írt a komplex számok elméletéről Respensio címen 1837-ben. Ezenkívül a matematikai térelmélet megalapozásával is foglalkozott.
Az elismerés hiánya mélységesen elkeserítette, önmagával meghasonlottan 1860.január 27-én Marosvásárhelyen halt meg. 1911-ben hamvait exhumálták, és nagy ünnepélyességgel atyja hamvaival együtt közös sírba helyezték.